Apendis
Me intende resoma asi alga descovres de la matematiciste antica Alzon cual ia es enviada a me, entre plur otra scrivedas, par un ami anonim, a un adirije pasada nonvalida, ma cual, final, ia es redirijeda a mea abiteria presente par un servis postal merveliosa astuta. Grasias a lo! Esta descovres es bastante interesante per es publicida pos la naras strana presedente con cual los ia es miscada.
Manouna Orti.
La trisesioni del angulo
Con la regla e la compas, nos pote bisesioni cualce angulo, construinte sua bisecante. Ance, nos pote cuatrisesioni cualce angulo, car lo sufisi ce on bisesioni a du veses. Ma como on ta pote trisesioni?
Acel problem, incluinte un egali de la grado 3, no es solvable apriori con regla e compas, en la spasio bidimensional de un folia. Alzon, en sua construi, ia inclui un dimension 3: la tempo. En fato, si on ajunta la dimension de tempo a la du dimensiones de la folia plana, esta problem de grado 3 deveni solvable!
U asi la razona de Alzon: « Suposa ce alga cuantia ta debe es compartida entre tre persones, ma on sabe comparti sola en cuatro partes. A cada person, on dona un cuatri de la cuantia: un parte va resta. Comparti acel parte en cuatro partes, dona un parte a cadun: ancora un parte va resta, plu streta. En acel modo, cuatri pos cuatri, a cada ves un parte va resta, a cada ves plu streta. An tal, si on continua la prosede, nonevitable la spesia de la lama va egali o suprapasa la parte cual debe es compartida. Asi la prosede va fini. »
Per dise, Alzon ia intui la serie infinita seguente:
<$\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{4^{4}} + \frac{1}{4^{5}} + … + \frac{1}{4^{n}}$>, con n infinita cresente (n → ∞).
Ta ce nos verifia esta resulta:
1/4 = 0.25
1/4 + 1/16 = 0.3125
1/4 + 1/16 + 1/64 = 0.328125
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 = 0.33203…
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024 = 0.3330078…
Vidable, multe rapida, la serie converje a 0.333333…, per dise 1/3.
Defininte la formula jeneral, Alzon aplica lo, natural, a la sesioni de la setores angulo, con intende de solve la problem de la trisesioni:
« La tri de cualce angulo es egal a la cuatri de acel angulo, continuante aumentada con la cuatri de la parte ajuntada presedente. Cuando esta prosede es repeteda, final la spesia de la stilo va egali o suprapasa la parte cual debe es compartida; alora la prosede va fini. »
La prosede jeometrial per trisesioni un angulo A₀.
Con un compas, on sesioni la angulo A=AOB en du partes egal; on lasa la parte destra D e on garda la parte sinistra, cual on sesioni en du partes egal: on lasa la parte sinistra S e on garda la parte destra: ta ce on nomi A₁ acel parte, cual es un cuatri de la angulo A. On opera sur la angulo A₁ como on ia opera sur la angulo A, per oteni la angulo A₂, cual es egal a un cuatri de la angulo A₁, poi la angulos A₃, A₄, etc.
Gradal, la angulos Aₙ streti plu e plu, asta ce los ateni la spesia de la punta del stilo. Alora la prosede fini.
La retanguli del disco
A prima, comparti un disco en oto setores egal, con la compas e la regla. Formi un triangulo interna con du raios e la corda de un setor, e, con la mesma angulo, un triangulo esterna tanjente a la sirculo.
Sur la basa de la raio e entre la mesma paralel, construi un triangulo reta OB’J egal a la triangulo interna OB°J; simil, construi un triangulo reta OA’I esterna.
On pote formi un retangulo con du triangulos reta; la retangulo OYBJ, egal a du triangulos OB’J, es inferior a la cuatri del disco; la retangulo OXAI, egal a du triangulos OA’I, es superior a la cuatri del disco.
Pone final sur la diametre cuatro retangulos de cada tipo: la surfas de la retangulo grande formida par cuatro retangulos OYBJ es inferior a la surfas del disco; a contra, la surfas de la retangulo grande formida par cuatro retangulos OXAI es superior a la surfas del disco. La surfas de la disco es entre la du.
Formi 16 setores, e sur un angulo, formi la triangulos interna e esterna, poi formi la triangulos reta OB’J e OA’I, poi la retangulos OY’B’J e OX’A’I. la surfas de la retangulo grande formida par oto retangulos OYBJ es inferior a la surfas del disco; a contra, la surfas de la retangulo grande formida par oto retangulos OXAI es superior a la surfas del disco. La puntos X e Y prosimi a lunlotra, e, donce, la surfases de ambos retangulos prosimi a lunlotra, e ambos prosimi a la surfas del disco.
Continuante la prosede con 32 setores, poi 64 setores, etc., final la difere entre la retangulos esterna e interna deveni plu pico, asta ce la spesia de la punta del stilo cual desinia los suprapasa o egali lo. Asi la prosede fini. E la retangulo ABCD egali la surfas del disco.
La dupli del cubo
La metodo de Alzon per dupli un cubo es fundida sur la construi de la promedia jeometrial entre du longias; e, en esta caso, sur du construis de promedia jeometrial entre a e c e entre b e d, la longia d esente duple de la longia a. Tal, la promedia b prosimi plu e plu a la longia a multiplida par la radis cubo de 2, e la promedia c a la longia d divideda par la radis cubo de 2.
Alzon comensa con la desinia de un cuadro cual es la fas de la cubo inisial, con un lado AO = a, a sinistra de la punto O. Poi, sur la linia reta AO, a destra de O, el trasa la segmento OC₀, con un longia c₀ = 2a. En la parte inferior de la desinia, perpendicular, sur la ase vertical, el trasa la segmento OD = 2a.
Alora, Alzon aplica esta algoritmo sur la puntos A e C₀:
Sur la diametro AC₀, el trasa sur la parte superior de la ase vertical un arco de 180°; la crusa de la arco con locali la punto B₀. La triangulos AOB₀ e B₀OC₀ es simil, como nos ia vide en la imaje prima.
Poi el trasa sur la diametro B₀D un arco de 180° ; la crusa de la arco con la parte destra de la ase orizonal locali la punto C₁; la longia de la segmento OC₁ es c₁.
On nota ce la puntos C₁ e C₀ no fusa en lunlotra. Ma, si on aplica la algoritmo jeometrial sur la puntos A e C₁, on oteni un punto B₁, poi un punto C₂. On nota alora ce la puntos C₂ e C₁ prosimi a lunlotra.
A cada ves, la algoritmo recomensa de la punto A e de un punto Cₙ per ateni un punto Bₙ, poi un punto Cₙ₊₁. Gradal, la puntos Cₙ₊₁ e Cₙ prosimi plu e plu a lunlotra 2, asta ce la spesia de la stilo covre la du puntos, cual fusa en lo. Alora la prosede fini.
On trasa final la fas de la cubo nova sur la lado OB, per dise la cuadro roja: la cuadro verde es la fas de la cubo inisial, e la cuadro roja es la fas de la cubo final con un volum duplida relatada a la cubo inisial. Lo cual on ia vole mostra.
La cade sin cade
On trova prima en esta macina oto sferas pesante cual es liada uniforma sirca la ase, e cual es nomida planetas o satelites. Los es liada a la rota, ma los pote move alga. Sua moves es constrinjeda per conserva la ecuilibra a cada posa de la rota. La grupo de la sferas periferial constitui la pendulario.
Par gamas (leveres) con pedes curva, e par un corea, on colie la forte developada par la pesa asemblada de la sferas: de cada satelite, la sistem colie un mesma parte de forte pesante, conservante tal la ecuilibra jeneral.
Alora, visitante plu interna, on descovre ce esta forte colieda desloca a la lado destra de la rota, en modo continua, un masa pesante nomida la sol, o la petra ascondeda (lapis occultum) en la cor de la sistem, creante un desecuilibra sustada.
La sistem jira tal, xercante sempre un ecuilibra cual lo trova nunca. On pote dise ce acel aparato cambia la cade linial vertical de la petra a un move jirante sin avansa: esta es lo cual on nomi la cade sin cade.
