Alzon e la trisesioni de la angulo ·
La retanguli del disco ·
La dupli del cubo ·
La cade sin cade ·
La formula del infinita ⋅
Un parla de Manouna Orti
Cara frateles[¹],
Nos vade a parla oji de la problem jeometrial nonsolveda 3 de la Anticia: la dupli de la cubo. Un problem nonsolveda? Nos va vide ce Alzon, un disiplo umil de Pandrosion (un fem matematiciste en la sentenio 4 ec.), ia proposa un solve interesante con regla e compas de esta problem, cual la edas posterior no ia conose. An Pappos la Alexandrian, sua contempora, evoca no sua nom, no sua solves tan astuta! Nos encontra sua construi sola en la obra ja sitada de dom Munius, la Opera mathematica, un obra cual es disponable sola en la biblioteca de nosa isola xef, e a no otra loca del mundo.
La demanda es ce, de un cubo inisial con un volum v, on construi un cubo con un volum duplida (v’ = 2 × v). Par causa ce on labora sur un folia de paper plata, on va construi, de la lado de la cubo peti, la lado de la cubo grande, e an trasa un fas de ambos cubos.
On calcula la volum v de la cubo prima tal, multiplinte sua lado l par lo mesma e ancora par lo mesma, tal:
v = l × l × l
E on calcula la volum v’ de la cubo grande tal, multiplinte sua lado l’ par lo mesma e ancora par lo mesma, tal:
v’ = l’ × l’ × l’
Ta ce l’ es rl:
v’ = rl × rl × rl = (r×r×r) × (l×l×l) = (r×r×r) × v
E, afin la volum es duplida:
v’ = (r×r×r) × v = 2 × v.
On debe trova un ratio r tal ce
r×r×r = 2.
La construi jeometrial proposada par Alzon
Un esemplo famosa de converje de ratios es vidable en la segue 2:1, 3:2, 5:3, 8:5, 13:8, 21:13, 34:21,(…),(bₙ:aₙ), (bₙ₊₁:aₙ₊₁)…
par causa de la algoritmo:
(aₙ₊₁ = bₙ , bₙ₊₁ = aₙ+bₙ)
Par grado, la ratios de esta lista converje a un valua plu e plu simil a 1.618…, diseda “proportio divin”.
Alzon, la prima ante totas, ia pensa ce esta algoritmo de converje pote es usada per trova la ratios cual permete a un longia de es duplida pos tre creses plu e plu simil. Per comprende sua razona, ta ce nos considera, a prima, un crese par du grados.
Considera la truple (2, 3, 4). La ultima valua (4) es la duplida de la prima (2), e la valua media (3) ave un valua plu grande ca la prima e plu peti ca la ultima. La ratio 3:2 no es simil a la ratio 4:3. Ma la porportios vade a converje par causa de esta algoritmo de Alzon:
truple inisial: (a , b , c = 2a)
truple seguente: (a+b , b+c , 2[a+b])
e, par segue:
(aₙ₊₁ = aₙ+bₙ , bₙ₊₁ = bₙ+cₙ , cₙ₊₁ = 2aₙ₊₁)
Ta ce nos vide la funsiona de esta algoritmo sur la truples de numeros (a , b , c = 2a). Ta ce nos comensa con la truple la plu simple: (1, 1, 2).
(1, 1, 2) → (2, 3, 4) → (5, 7, 10) → (12, 17, 24) → (29, 41, 58) → (70, 99, 140) → (169, 239, 338) → (408, 577, 816) → (985, 1393, 1970), etc.
Si on considera la ratios (b:a) e (c:b), on nota ce esta ratios deveni plu e plu prosima. La truple (985, 1393, 1970) mostra la ratios: 1393:985 = 1.414213198 e 1970:1393 = 1.414213927. On vide ce la ratios converje a la valua √2 = 414213562…
On pote desinia esta progresa como grados de un scalera. Plu longa la algoritmo funsiona, plu la apicos de la grados deveni aliniada, car la ratios prosimi plu e plu a lunlotra. Si on desinia un cuadro prima (verde), la cuadro 2 (roja), cual toca la linia inclinada, ave un surfas duplida relatada a la prima.
Pos ce el ia nota ce sua algoritmo funsiona bon con du grados, Alzon proba lo con tre grados, tal:
cuatruple inisial: (a , b , c , 2a)
paso 1: (a+b , b+c , c+2a , 2a+2b)
paso 2: (a+2b+c , 2a+b+2c , 4a+2b+2c , 2a+4b+2c)
paso 3: (3a+3b+3c , 6a+3b+3c , 6a+6b+3c , 6a+6b+6c)
e, par segue:
(aₙ₊₁ = aₙ+bₙ , bₙ₊₁ = bₙ+cₙ , cₙ₊₁ = cₙ+dₙ , dₙ₊₁ = 2aₙ₊₁)
Con valuas numeral, on oteni, per esemplo la cuatruples:
cuatruple inisial: (3, 4, 5, 6),
paso 1: (7, 9, 11, 14),
paso 2: (16, 20, 25, 32),
paso 3: (36, 45, 57, 72), etc.
Si on considera la ratios (b:a), (c:b), (2a:c), on nota ce esta ratios deveni plu e plu prosima. La paso 12 mostra la ratios: 858:681 = 1.259911, 1081:858 = 1.259906, e 1362:1081 = 1,259944. On vide ce la ratios converje a la valua ∛2 = 1.25992105.
Alzon ia nota ce sua algoritmo pote funsiona a tre veses plu rapida si, partinte de la cuatruple inisial, on vade direta a la paso 3, do on pote divide cada espresa par 3.
Tal, la paso 3: (3a+3b+3c , 6a+3b+3c , 6a+6b+3c , 6a+6b+6c) deveni:
(a+b+c , 2a+b+c , 2a+2b+c , 2a+2b+2c)
E la algoritmo jeneral deveni:
(aₙ₊₁ = aₙ+bₙ+cₙ , bₙ₊₁ = 2ₙa+bₙ+cₙ , cₙ₊₁ = 2aₙ+2bₙ+cₙ , dₙ₊₁ = 2aₙ₊₁)
La ratios (b:a), (c:b), (2a:c) prosimi multe rapida. Pos sola 4 pasos, los deveni 1.259911…
On pote desinia esta progresa como grados de un scalera. Plu longa la algoritmo funsiona, plu la apicos de la grados deveni aliniada. La ratios egali plu e plu.
Alzon no ia usa numeros; el ia usa linias, segmentos e arcos, aplicante sua algoritmo sur los. Tal, la construi es fada grado par grado.
Prima, on desinia la fas de la cubo 1. Sua lados ave la valua 1.
On divide la lado en tre partes: la parte a₁, la parte b₁ e la parte c₁.
On construi un scalera con acel valuas inisial de a₁ , b₁ , c₁ e d₁ = 2a₁.
Nosa esemplo grafica (vide a su) mostra un divide con la valuas (a₁ , b₁ , c₁ , d₁ = 2a₁) = (1/4, 1/4, 1/2, 1/2). Ma cualce otra valuas es posible, e la algoritmo jeometrial de Alzon funsiona egal bon.
La valua a₁ permete loca la punto A₁ sur la ase orizontal.
La valua b₁ = A₁B₁ permete loca la punto B₁ sur la ase orizontal.
La valua c₁ = B₁C₁ permete loca la punto C₁ sur la ase orizontal.
Per funsiona la algoritmo jeometrial, on nesesa trasa sur la ase orizontal la punto D₁ tal ce C₁D₁ = a₁ + (a₁ + b₁ +c₁) et la punto E₁ tal ce D₁E₁ = (a₁ + b₁) (a₁ + b₁ +c₁).
Con la punta de la compas en O, on trasa un arco con un raio OE₁ cual instersepi la linia C₁C’ a la punto C’. On trasa la linia reta OC’. La arcos con raios OC₁ e OD₁ intersepi esta linia OC’ a la puntos A’ e B’. On trasa, de A’ e B’, la linias A’A₂ e B’B₂ paralel a C’C₁.
On vide ce la puntos A₁ e A₂ es distante, como ance B₁ e B₂. Ma la algoritmo, aplicada sur A₂, B₂, e C₂, jenera la locas de la puntos A₃, B₃, con C₃ = C₂, e on nota ce la distantias A₂A₃ e e B₂B₃ streti.
De la puntos A₃, B₃, e C₃, on oteni la loca de la puntos A₄, B₄, con C₄ = C₃, etc. On nota, a cada ves, ce la distantias AₙAₙ₊₁ e BₙBₙ₊₁ es plu e plu streta.
La prosede no ave fini teorial, e la ratios prosimi plu e plu sin es total egalida. Ma, longo Alzon, « cuando la distantias AₙAₙ₊₁ e BₙBₙ₊₁ es plu streta ca la punto de la stilo en tal modo ce la punto Aₙ₊₁ apare fusada en Aₙ (e la punto Bₙ₊₁ en Bₙ), la prosede fini, car lo es como si on ta vole fende un parte plu streta ca la lama usada per fende[²]. »
E, final, vide la construi, de la cuadro verde inisial a la cuadro roja final: la cuadro verde es la fas de la cubo inisial, e la cuadro roja es la fas de la cubo final con un volum duplida. Cual on ia vole mostra.
Cara frateles onorable, me ia parla.
[¹] Frateles: un parola rejional sinifiante “sores e frates”.
[²] Dom Munius, Opera mathematica.
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Lo ia es automatada jenerada de la paje corespondente en la Vici de Elefen a 2 janero 2025 (12:39 UTC).